3) Partie pratique : fabrication du patron d'un icosaèdre tronqué

Le patron à réaliser pour fabriquer un icosaèdre tronqué est le suivant :

On distingue 20 hexagones (en vert) et 12 pentagones (en rouge) dont tous les côtés sont de même longueur. Pour commencer la réalisation, il faut tout d’abord tracer le pentagone central…

Il existe plusieurs programmes permettant de dessiner un pentagone. Nous avons choisi celui-ci pour sa simplicité et sa rapidité d'exécution.

Programme de construction d’un pentagone à partir du rayon de son cercle circonscrit :

Soit Δ un cercle de centre O et de rayon OA. On crée les points suivants deux à deux distincts et appartenant à Δ : B tel que AÔB = 72° puis C tel que BÔC = 72°, D tel que CÔD = 72°, et enfin E tel que DÔE = 72°.

Montrons que le polygone ABCDE ainsi construit est un pentagone régulier.

Démonstration :

AÔE = 360° - AÔB - BÔC - CÔD - DÔE = 72°.

Et comme OA = OB = OC = OD = OE (rayons de Δ), les triangles AOB, BOC, COD, DOE et AOE sont isocèles et isométriques.

Donc AB = BC = CD = DE = EA et ABCDE est un pentagone régulier. 

Les dimensions d'un pentagone régulier et notamment la mesure de son côté dépendent du rayon de son cercle circonscrit. Déterminons maintenant cette relation qui nous permettra de prévoir les dimensions du pentagone selon le rayon du cercle de départ choisi.

Calcul de la mesure du côté AE du pentagone en fonction du rayon du cercle circonscrit AO :

Dans un triangle, la somme des angles est égale à 180°.

Donc AÊO + AÔE + EÂO = 180°.

Or OA = OE car ce sont des rayons du cercle.

On en déduit que AOE est un triangle isocèle en O et

EÂO = AÊO = ½ (180° - EÔA) = ½ (180° - 72°) = 54°.

En utilisant les produits scalaires, on obtient :

ĀÈ.ĀÒ = llĀÈll x llĀÒll x cos (ĀÈ ; ĀÒ) = AE x AO x cos (54°)

d’où AE = ĀÈ.ĀÒ ÷ (AO x cos (54°))

Et on a aussi :

ŌÀ.ŌÈ = llŌÀll x llŌÈll x cos (ŌÀ ; ŌÈ) = AO² x cos (72°)

car AO = EO (rayons du cercle) 

Donc

AE = ĀÈ.ĀÒ ÷ (AO x cos (54°))

     = (ĀÒ + ŌÈ). ĀÒ ÷ (AO x cos (54°))

     = (ĀÒ.ĀÒ + ŌÈ.ĀÒ) ÷ (AO x cos (54°))

     = (ĀÒ.ĀÒ - ŌÈ.ŌÀ) ÷ (AO x cos (54°))

     = (ĀÒ.ĀÒ - ŌÀ.ŌÈ) ÷ (AO x cos (54°))

     = (AO² - AO² x cos (72°)) ÷ (AO x cos (54°))

     = AO² x (1 - cos (72°)) ÷ (AO x cos (54°))

     = AO x (1 - cos (72°)) ÷ cos (54°)

Ce qui est équivalent à

AO = AE ÷ ((1 - cos (72°)) ÷ cos (54°))

     = AE x cos (54°) ÷ (1 - cos (72°))

Mais il faut maintenant continuer le patron et pour cela nous avons besoin de savoir construire des hexagones à partir des côtés déjà existants...

Nous avons choisi ce programme de construction car il est sûrement le plus courant et le plus rapide d'exécution...

Programme de construction d’un hexagone à partir d’un côté :

Soit [AF] le segment à partir duquel on veut construire un hexagone. On crée O’ tel que AO’F soit un triangle équilatéral. On trace le cercle Δ’ de centre O’ et de rayon O’A. Puis on place les points suivants :

- B є Δ’ tel que AO’ = AB, et B distinct de F

- C є Δ’ tel que AO’ = BC, et C distinct de A

- D є Δ’ tel que AO’ = CD, et D distinct de B

- E є Δ’ tel que AO’ = DE, et E distinct de C

Montrons que le polygone ABCDEF ainsi construit est un hexagone régulier.

Démonstration :

Comme AO’F est un triangle équilatéral, AF = AO’ = FO’.

De plus, AO’ = BO’ = CO’ = DO’ = EO’ = FO’ car ce sont des rayons de Δ’.

Et, d’après le programme de construction

AO’ = AB = BC = CD = DE.

On en déduit que les triangles AO’F, AO’B, BO’C, CO’D et DO’E sont équilatéraux et isométriques et que chaque angle de ces triangles mesure 60°.

En conséquence, EÔ’F = 360° - 5 x 60° = 60°,

et comme O’E = O’F, on conclut que le triangle EO’F est également équilatéral, et les six triangles ainsi construits sont isométriques.

On a donc AF = AB = BC = CD = DE = EF et ABCDEF est un hexagone régulier.

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