Par la suite, il sera nécessaire de construire d'autres pentagones...

Pour construire ces autres pentagones, on pourrait réutiliser le programme et la relation trouvés en partie 3b. Néanmoins, il nous a semblé plus précis et plus intéressant d'utiliser un programme permettant la construction directe d'un pentagone à partir d'un côté déjà formé par d'autres figures composant l'icosaèdre.

Programme de construction d’un pentagone à partir d’un côté :

N.b. : Tous les points de cette construction doivent être placés d’un même côté de la droite (AE) ou sur celle-ci.

Soit [AE] le segment à partir duquel on veut construire le pentagone.

On trace ABDE, un carré.

C est le milieu de AE.

Soit Δ₁ le cercle de centre C et de rayon CB (ou CD). Il coupe la droite (AE) en L et M tels que L, A, C, E, et M soient alignés dans cet ordre.

Soit Δ₂ le cercle de centre A et de rayon AM.

Soit Δ₃ le cercle de centre E et de rayon EL.

O est le point d’intersection entre Δ₂ et Δ₃.

Soit Δ₄ le cercle de centre A et de rayon AE (ou AB)

Soit Δ₅ le cercle de centre E et de rayon AE (ou DE)

On appelle I le point d’intersection de Δ₂ et Δ₅, et U le point d’intersection de Δ₃ et Δ₄.

On obtient AEIOU le pentagone régulier.

Montrons que le polygone ainsi formé est un pentagone régulier.

Démonstration :

On pose AE = a

AE = AB = ED = AU = EI = a car ce sont des rayons de cercles superposables (de même rayon).

Comme C est le milieu de AE, AC = CE = a/2.

De plus, ABDE est un carré donc BAC est un triangle rectangle en A et CED est un triangle rectangle en E.

D’après le théorème de Pythagore,

BC = CD = √(AC² + AB²)

             = √[(a/2)² + a²]

             = √(a²/4 + a²)

             = √(5a²/4)

             = a√(5)/2

BC = CD = CL = CM = a√(5)/2 car ce sont des rayons de Δ₁.

On a alors AL = EM = CL – CA = a√(5)/2 - a/2 = a(√(5) - 1)/2.

EL, AM, AI, EU, AO et EO sont des rayons des cercles superposables Δ₂ et Δ₃ (de rayon AM ou EL) donc :

EL = AM = AI = EU = AO = EO = AE + AL

                                                = AE + EM

                                                = a(√(5) - 1)/2 + a

                                                = a[(√(5) - 1)/2 + 1]

                                                = a(√(5) + 1)/2

On peut ici remarquer la présence du nombre d’or :

ф = (√(5) + 1)/2.

Ce qui nous donne EL = AM = AI = EU = AO = EO = a x ф.

De plus, comme AO = OE, on peut dire que le triangle AOE est isocèle en O.

De ce fait, (CO) est la médiatrice de [AE] et EÂO = AÊO.

On peut donc utiliser la trigonométrie dans les triangles rectangles ACO et ECO :

cos (CÂO) = cos (CÊO) = AC/AO = (a/2)/[a(√(5) + 1)/2]

                                                   = 1/(√(5) + 1)

EÂO = AÊO = cos^-1 (1/(√(5) + 1)) = 72 °

Soit X le point d’intersection de la droite (AE) et de Δ₄ (le cercle de centre A et de rayon AE). X est distinct de E.

Soit Y le point d’intersection de la droite (AE) et de Δ₅ (le cercle de centre E et de rayon AE). Y est distinct de A.

On a AX = AE = EY = a car ce sont des rayons de cercles superposables.

XE est un diamètre de Δ₄ car A est le centre de Δ₄, X є (AE) et AE = AX.

YA est un diamètre de Δ₅ car E est le centre de Δ₅, Y є (AE) et AE = EY.

De plus, comme U є Δ₄, le triangle EUX est rectangle en U et comme I є Δ₅, le triangle AIY est rectangle en I.

On peut donc utiliser la trigonométrie dans les triangles rectangles EUX et AIY :

cos (UÊX) = cos (IÂY) = EU/EX = AI/AY = [a(√(5) + 1)/2]/2a

                                                              = a(√(5) + 1)/4a

                                                              = (√(5) + 1)/4

Donc IÂY = UÊX = cos^-1 ((√(5) + 1)/4)) = 36°

IÂO = EÂO - IÂY = 72° - 36° = 36 °

OÊU = AÊO - UÊX = 72° - 36° = 36°

AÔE = 180° - AÊO - EÂO = 180° - 72° - 72° = 36°

On rappelle également que AO = EO = EU = AI et donc :

AOE est isocèle en O

OEU est isocèle en E

et IAO est isocèle en A.

Or AÔE = OÊU = IÂO.

Les triangles AOE, OEU et IAO sont isométriques et on a ainsi :

IO = OU = AE = AU = EI = a.

Donc AEIOU est pentagone régulier.

Suite et fin page suivante ...